麦克风听到的是总和，难题是拆出频率
查看原文 00:50一个音符可以用气压振荡的快慢来描述。视频里的纯 A 音每秒振荡 440 次；音高更低的 D 振荡得更慢。几个音同时响起时，每个时刻的气压变化会相加：波峰有时互相加强，有时互相抵消。因此，即使只有几个纯频率，合成后的波形也可能看起来很复杂。
麦克风记录的是随时间变化的总气压。怎样从这个总和中找回原来的频率？在 3Blue1Brown 的入门视频中，答案从一个几何实验开始：以不同速度把信号绕成圆，再衡量所得图形的平衡位置。
缠绕过程引入了另一个可调的频率
查看原文 02:40为了让图形容易观察，先取一个每秒振荡三次、即 3 Hz 的信号，只看开始的 4.5 秒。想象一支旋转的箭头：每个时刻，它的长度等于原图在该时刻的高度。因此高点离圆心，也就是原点，更远；低点则更近。随着时间流逝，箭头画出一条缠绕曲线。
信号频率和缠绕频率是两回事。前者表示信号上下振荡有多快；后者表示我们选择让箭头转得多快。每两秒转一圈，就是每秒转 0.5 圈。改变这个选择会改变缠绕图形，却不会改变原信号。原图上的竖线标出转完一圈对应的时间间隔；例如间距为 1.5 秒，就表示一圈用时 1.5 秒。从 02:40 观看构造过程。
缠绕速度匹配时，质心会发生偏移
查看原文 04:37可以想象缠绕后的点按时间均匀地带有重量。它们的质心就是平均位置，类似一个平衡点。在这个例子中，大多数缠绕速度会让高低部分分布在圆周各处，质心便留在原点附近。当缠绕速度达到每秒 3 圈时，信号的波峰反复落在右侧，波谷落在左侧，质心明显向右偏移。动画中的形状连续变化；下图截取了匹配的时刻。
把质心的横坐标随缠绕频率的变化画出来，就会在 3 Hz 处看到一个峰。视频把这张图称为近似傅里叶变换：它只记录质心的一个坐标，而且使用了平均值；后面会看到这两点的区别。零附近的大隆起来自示例波形整体向上平移，并不是另一个 3 Hz 振荡。在这个例子中，让波形围绕零振荡可以去掉这一偏移。有限时间区间的图可能有波动，峰以外不一定恰好为零。从 06:27 看频率图。
线性解释了两个频率为何产生两个峰
查看原文 08:07对 2 Hz 的波重复实验，峰会出现在 2 Hz 附近。把 2 Hz 与 3 Hz 信号相加，时间图像变得更复杂，但缠绕图分别在这两个速度附近呈现对齐，频率图也在两处出现峰。
原因是线性：先把信号相加再做变换，与分别变换后把结果相加，得到相同的结果。在视频的例子里，每个纯频率都在自身频率附近贡献集中的响应，所以相加后两个特征都保留下来。这就是视频所说的信号“拆分”；有限时长下，其他位置只是接近零，而不是理想化的完美尖峰。从 09:36 观看对比。
滤波先利用频率视角，再用逆变换返回
查看原文 10:36视频简要展示了声音编辑的思路：先变换录音，压低令人不悦的高音对应的频率峰，再用傅里叶逆变换找到与修改后频率表示对应的时间信号。这样便能从频率角度理解如何去掉高频成分。
视频曾简略说，对傅里叶变换再做一次傅里叶变换会得到接近原来的结果，随后立即提醒这只是一个不完整的说法。这里需要的是逆变换；视频把更完整的解释留到后续内容。观看 10:36。
复数记录旋转位置的两个坐标
查看原文 11:55质心除了横坐标，还有纵坐标。复数用实部和虚部记录这两部分，它们分别对应复平面上的横向与纵向坐标。只看横坐标的图，无法知道完整的二维输出。
欧拉公式给旋转提供了简洁写法：e^(iθ) = cos θ + i sin θ。在单位圆上，θ 增大时，点从右侧出发逆时针移动。因此 e^(2πift) 以每秒 f 圈旋转：例如 f = 1/10 时，十秒转一圈。视频把这种旋转行为作为已知事实使用，并未在此证明。观看 12:32。
按照这里使用的约定，指数加负号表示顺时针旋转。如果 g(t) 是信号在时刻 t 的值，那么 g(t)e^(-2πift) 就按信号值缩放旋转点，从而画出缠绕后的信号。频率 f 是可调的缠绕速度。
积分把缠绕后的信号沿时间累积
查看原文 14:43要估计质心，可以在许多等间隔时刻对缠绕曲线采样，把得到的复数位置相加，再除以采样点数。间隔越来越小时，从 a 到 b 的时间平均可以写为 1/(b-a) ∫[a,b] g(t)e^(-2πift) dt。这里的积分是取代离散求和的连续累积；再除以区间长度，得到按时间加权的平均位置。
视频中有限区间上的变换保留积分，却不除以 b-a。因此它等于平均位置乘以持续时间：三秒乘以三，六秒乘以六。在 2 Hz 的例子里，以 2 Hz 缠绕会反复描画同一形状，质心保持不动，而未归一化的值随持续时间增长。对于附近的其他缠绕速度，更长的区间也让曲线有更多机会在圆周上达到平衡。从 15:59 理解这个区别。